Conoce el electromagnetismo: "El príncipe de las matemáticas"

" El príncipe de las matemáticas"

Biografía.

John Carl Friedrich Gauss mundialmente conocido como “Gauss” nació el 30 de abril de 1777 en Brunswick (Alemania) y murió el 23 de febrero de 1855 en Göttingen (Alemania).

Fue matemático, astrónomo y físico; además contribuyó en múltiples campos, incluida la teoría de los números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la estadística, el algebra, la geodesia, la óptica y el magnetismo del que se detallará más adelante.

Como el título del artículo indica es considerado “el príncipe de las matemáticas” y “el matemático más grande desde la antigüedad”, ha tenido una gran influencia en muchos campos de la matemática y de la ciencia, hasta tal punto de ser considerado uno de los matemáticos más influentes de toda la Historia.

También fue uno de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos.

Este gran matemático fue un niño prodigio. Hizo sus primeros descubrimientos en su adolescencia y con apenas veintiún años completó su obra maestra, “Disquisitiones Arithmaticae”, con ello se consolidó la teoría de los números y se modeló hasta nuestros días.

2. Teorema de Gauss

2.1. Flujo del campo eléctrico

Se define flujo del campo eléctrico a través de una superficie como el número de líneas de campo eléctrico que penetran en la superficie

El vector superficie, que aparece en la fórmula, tiene como módulo el área de la superficie y su dirección es perpendicular al plano que la contiene.

Cuando el vector campo eléctrico y el vector superficie forman 90 grados, es decir, son perpendiculares, el flujo es nulo.

Hay que tener en cuenta que el flujo a través de una superficie cerrada dentro de un campo de fuerzas representa el número neto de líneas de fuerza que salen de la superficie cerrada. Por lo que:

Si el flujo es mayor que cero, nos indica que salen más líneas de la que entran.
Si el flujo es nulo, indica que salen tantas líneas como entran.
Si el flujo es menor que cero, nos indica que entran más líneas de las que salen.

2.2. Teorema de Gauss

El Teorema de Gauss afirma que el flujo del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada imaginaria, también llamada superficie gaussiana, es igual al cociente entre la carga neta encerrada en la superficie dividida por la constante :

Su expresión analítica varía dependiendo si es una carga puntual o si es una distribución continua de cargas:

Caso de una distribución continua de carga

Caso de cargas puntuales

2.3. Aplicaciones

2.3.1 Distribución lineal de carga

Tenemos una recta cargada a lo largo del eje x. Para calcular el campo eléctrico, vamos a tomar como superficie gaussiana un cilindro de radio r y altura L. Debido a la geometría del plano, debemos usar coordenadas cilíndricas. Aplicamos la ley de Gauss:

Por lo tanto, ese es el resultado del campo eléctrico de una distribución lineal de cargas. Al que hay que aplicarle un vector, en nuestro caso ur.

2.3.2 Distribución esférica de carga

Teniendo en cuenta una esfera uniforme cargada de radio R. Tenemos que tener en cuenta el campo dentro y fuera. Para ello, utilizamos dos superficies gaussianas una r<R y otra r>R.

La carga existente en el interior, es una parte de la carga total:

La carga total es la siguiente:

Siguiendo el Teorema de Gauss tenemos lo siguiente:

Teniendo en cuenta lo interior tenemos dos partes, el campo eléctrico dentro de la superficie y por fuera:

Campo eléctrico dentro r<R

Campo eléctrico fuera r>R

2.3.3. Plano infinito

Teniendo en cuenta que se trata de un plano, la mejor superficie gaussiana que podemos utilizar es un cilindro, con las bases paralelas al plano.

Ahora, aplicamos el Teorema de Gauss:

Siendo este último el campo eléctrico de un plano, teniendo en cuenta que si queremos tomarlo como vector tenemos que añadir la dirección.

3. Teorema de Gauss de la divergencia

Este teorema relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la integral de su divergencia en el volumen delimitado por dicha superficie.

Fue descubierto por Joseph Louis Lagrange en 1762, e independientemente por Carl Friedrich Gauss en 1813, por George Green en 1825 y por último por Mikhail Vasilievich Ostrogradsky, que también dio la primera demostración del teorema. Estas variaciones se conocen como Teorema de Gauss, que es el que vamos a tratar a continuación, el Teorema de Green y el Teorema de Ostrogradsky.

3.1. Enunciado

Sean H y U dos subconjuntos abiertos en $\mathbb{R}^3$ donde $U\subset H$ es simplemente convexo y el borde de U, además S es una superficie regular o regular a trozos, puede ser una de las dos opciones.